Олимпиада для пятиклашек

Дочери (5й класс) на каникулы дали типа олимпиадки порешать. По математике. Ясно, что решают в итоге родители. Хорошо тем, кто в НИИ каком нить работает, или, может, профессорá, завалящиеся доценты с техническим уклоном имеются под рукой. А что делать нам фриленсерам, у которых только жена-гуманитарий есть под рукой?

С задачами Лизавета пошла сначала к маме. Среди них были разные задачи, но одна была довольно интересной, благодаря своей необычной формулировке. Вот о ней и рассказ. Ах да сама задача.

ЗАДАЧА.

Ученик на вопрос учительницы о том, каков номер его квартиры, ответил, что если сложить все шесть двузначных комбинаций чисел, из которых состоит этот номер, а затем поделить эту сумму на два, то получится сам этот номер.

Представить не могу, что подумала об этом ученике учительница, но нам надо отыскать этот злополучный номер квартиры.

Для меня все началось с того, что Лиза пришла ко мне и рассказала про эту задачу, и о том как ей завтра придется рассказывать на уроке математики, как она её решала. Учительница обещала поставить пять баллов, если Лиза объяснит решение. А рассказывать ей было, в общем, нечего, так как жена, решив эту задачу сама, подсказала ей только ответ, который Лиза принялась на разные лады склонять, раскручивая задачу с обратного конца.

Пока слушал Лизу, записал условие задачи в виде уравнения.

Шесть двузначных комбинаций нам намекали, что это три разных цифры, среди которых к тому же нет нуля. Здравый смысл должен нам был подсказать также, что эти три цифры составляют 3х-значный номер квартиры. Не 4х, не 5ти и т.д., а всего лишь трехзначный. Хотя в математике глупо опираться на здравый смысл, ибо она играет по своим правилам.

Я ввел обозначения a, b, c, для этих трех цифер, тогда номер квартиры должен выглядеть как {abc}. Уравнение получилось такое:

{ab} + {ac} + {ba} + {bc} + {ca} + {cb} = 2 * {abc} (1)

Меня мучила мысль, что нам не хватает ещё пары уравнений, ибо неизвестных у нас три, а уравнений — одно. И если у нас нет нужного числа уравнений, то решать придется в итоге подбором троек чисел. Я прикинул кол-во этих троек. Выходило, что их 9 в кубе — т.е. 729.

Число 729 это очень грубая оценка. Если вспомнить, что a ≠ b ≠ c, то число комбинаций получится как произведение вариантов 9*8*7, т.е. всего то 504…

Мои размышления прервала жена. Она сказала, что задачу решила, но её смущает то, каким способом она это сделала. Она приняла допущение, что а = 1. Почему? Да потому, что вроде как многовато получается для номера квартиры в ином случае. Мне это допущение сразу не понравилось :). Далее она взяла наименьшую подходящую по необходимым условиям тройку — [123] и проверила её, подставив в (1). Получившая сумма была слишком мала.. Тогда она умножила…. а дальше я уже не слушал, т.к. ход решения мне не нравился…

Тем не менее у неё получился ответ, удовлетворяющий условию (1) — 198, т.к. она записала точно такое уже уравнение в самом начале.

Что и говорить, не успел я опомниться, как оказался по среди всей этой войны с числами. Много лет назад я покинул поле математических баталий, чтобы не брать больше в руки калькулятор. Но прошлое настигло меня, и я снова лихорадочно перебирал числа.

РЕШЕНИЕ

Для начала упростим наше уравнение (1). Раскроем фигурные скобки слева и запишем выражение,

10a + b + 10a + c + … = 2 {abc}

После упрощения получим

11(a + b + c) = {abc} (2)

Практически, эта формула нам ничего не даёт. Ставит в тупик. Особенно если забыть, что есть такое символы a, b, c. А если мы раскроем фигурные скобки ещё и справа, то точно не продвинемся к решению задачи. Поэтому вернемся назад к смыслу самих обозначений a, b c.

Я решил поискать дополнительные условия, ограничивающие наш набор из троек. Чем ограничена сумма a + b + c? Максимальная тройка это 9, 8, 7 — т.е. максимальная сумма = 24, а минимальная сумма выводится из (2), если взять {abc}  = 123, то сумма будет не менее 12. Т.е. a + b + c принадлежит множеству

[12 … 24] (3)

Максимум суммы, равный 24, кстати, подтверждает верность допущения о том, что номер квартиры 3х-значное число, он не превышает, исходя из (2) — значения 264.

Проверить эти 13 вариантов (3) не трудно, подставим их в (2).

11 * 12 = 132, => 11 (1 + 3+ 2) = 66, а должно быть равно 132, но это не так,

11 * 13 = 143, => 11 (1 + 4 + 3) = 88, а должно быть равно 143, но это не так,

11 * 18 = 198, => 11 (1 + 9 + 8) = 198, и это единственный подходящий вариант!

11 * 24 = 264, => 11 (2 + 6 + 4) = 132, а должно быть равно 264, но это не так.

Т.е. подбирая удовлетворяющую условию (2) сумму троек из множества (3), мы неожиданно (для меня во всяком случае), получаем ответ задачи. Я предполагал, что получив значение суммы троек, нам придется заниматься подбором самих чисел.

В общем, мне понравилось почувствовать себя в течении нескольких минут полным идиотом, решая задачку для пятиклассников. Сколько же коварства скрывают эти учительницы по математике? А ведь не все родители справились с заданием :). Последняя мысль успокаивает и отравляет сердце гордостью.

Написать комментарий

Мало букафф? Читайте есчо !

Тренажер для мозгов - перемножаем два числа в уме

Октябрь 18, 2012 г.

Для тренировки мышц нужны физические упражнения, а для тренировки мозга - умственные. Для тренировки мозга, в принципе, вообще ничего не надо, лишь найти место, где вас не будут отвлекать. Придумываем произвольную пару чисел, перемножаем. Берем следующую ...

Читать

Магия чисел

Февраль 14, 2011 г.

Старшая дочь у меня уже ходит в 3й класс общеобразовательной средней школы. Склад ума у неё не лежит к точным наукам, но пока это не мешает ей приносить ...

Читать

 

Комментарии к «Олимпиада для пятиклашек»

Понравилась статья? Есть вопросы? - пишите в комментариях.



Комментарий: